Varianz

Die Varianz ist ein Maß für die Streuung von Datenpunkten um ihren Mittelwert. Sie quantifiziert, wie stark die Werte einer Datenmenge variieren, und bildet eine Grundlage für viele statistische Analysen. Die Berechnung unterscheidet sich zwischen der Gesamtheit und einer Stichprobe, wobei die Varianz in quadrierten Einheiten angegeben wird.

Formel

Die Varianz $( v )$ beschreibt die durchschnittliche quadratische Abweichung der Datenpunkte vom Mittelwert. Dabei bezeichnet $( n )$ die Anzahl der Datenpunkte, $( x_i )$ die einzelnen Datenwerte und $( \bar{x} )$ den Mittelwert der Daten.

Gesamtheit

Für eine vollständige Gesamtheit wird die Varianz wie folgt berechnet:

$$v = \dfrac{1}{n} \sum^{n}_{i=1}(x_i - \bar{x})^2$$

Stichprobe

Bei einer Stichprobe aus der Gesamtheit erfolgt die Berechnung mit $( n-1 )$ im Nenner, um eine unverzerrte Schätzung zu gewährleisten:

$$v = \dfrac{1}{n-1} \sum^{n}_{i=1} (x_i - \bar{x})^2$$

Vor- und Nachteile der Varianz

Vorteile

• Mathematische Grundlage: Die Varianz stellt eine fundamentale Kennzahl in der Statistik dar, die auf den Differenzen zwischen den Datenpunkten und dem Mittelwert beruht.
• Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern: Sie berücksichtigt alle Datenpunkte und ist daher empfindlich gegenüber Ausreißern, was in bestimmten Analysen von Nutzen sein kann.
• Basis für weitere Analysen: Die Varianz bildet die Grundlage für zahlreiche statistische Tests und Modelle, einschließlich der Standardabweichung und der Normalverteilung.

Nachteile

• Schwierige Interpretation: Die Varianz lässt sich nicht immer leicht deuten, da sie in quadrierten Einheiten vorliegt.
• Einheitlichkeit: Die Varianz weist eine andere Einheit auf als die ursprünglichen Daten (beispielsweise das Quadrat der Einheit), was die Interpretation erschwert.
• Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern: Obwohl dies ein Vorteil sein kann, wirkt es sich auch nachteilig aus, da Ausreißer die Varianz stark beeinflussen und zu verzerrten Ergebnissen führen können.
• Nicht robust: Die Varianz ist nicht robust gegenüber nicht-normalverteilten Daten, was zu ungenauen Schätzungen führen kann.

Vergleich zwischen Standardabweichung und Varianz

Merkmal	Varianz ($( v )$)	Standardabweichung ($( \sigma )$ oder $( s )$)
Definition	Durchschnitt der quadrierten Abweichungen	Quadratwurzel der Varianz
Einheit	Quadrat der Einheit der Daten	Gleiche Einheit wie die Daten
Interpretation	Gibt die Streuung in quadrierten Einheiten an	Gibt die Streuung in den gleichen Einheiten wie die Daten an
Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern	Empfindlich gegenüber Ausreißern	Empfindlich gegenüber Ausreißern
Verwendung	Oft in der Theorie und bei der Berechnung von Tests	Häufiger in der Praxis verwendet, da leichter zu interpretieren

Quellen

Datatab. (2021, November 28). Varianz (Einfach erklärt). Youtube. Retrieved from https://www.youtube.com/watch?v=iPjXpiB6w9E
Duck.ai. (2024, September 16). Anonymisierte AI-Interaktionen. Retrieved from https://duck.ai