Erwartungswerte

Der Erwartungswert ist ein zentrales Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er stellt die Prognose eines Ergebnisses eines Zufallsexperiments dar und beschreibt den erwarteten Ausgang, den die Zufallsvariable am ehesten annimmt. Mathematisch wird er als $E(X)$ bezeichnet.

Definition

Der Erwartungswert eines Zufallsexperiments ist der Wert, den die Zufallsvariable am ehesten annimmt. Er dient als Maß für den durchschnittlichen Ausgang.

Berechnung bei diskreten Zufallsvariablen

Der Erwartungswert $E(X)$ einer diskreten Zufallsvariable wird berechnet durch:

$E(X) = \sum x_i \times p_i$

Hierbei werden die Produkte der möglichen Werte $x_i$ und deren relativen Wahrscheinlichkeiten $p_i$ addiert.

Beispiel

Ein Beispiel für die Berechnung des Erwartungswerts zeigt die folgende Tabelle mit Ereignissen, Gewinnen, Gewinn-Verlust-Werten und Wahrscheinlichkeiten:

Ereignis	Gewinn	Gewinn - Verlust	Wahrscheinlichkeit
1.	€ 10.000	€ 9.999	1%
2.	€ 500	€ 499	9%
3.	€ 0	-€ 1	90%

Die Berechnung des Erwartungswerts ergibt:

$E(X) = 9.999 \times 0,01 + 499 \times 0,09 + (-1) \times 0,9 = 144$

Berechnung bei stetigen Zufallsvariablen

Der Erwartungswert $E(X)$ einer stetigen Zufallsvariable wird berechnet durch:

$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \times f(x) \, dx$

Hierbei ist $f(x)$ die Dichtefunktion der Zufallsvariablen.

Zusammenfassung

Der Erwartungswert beschreibt den durchschnittlichen Ausgang eines Zufallsexperiments. Bei diskreten Zufallsvariablen erfolgt die Berechnung durch Summation, bei stetigen Zufallsvariablen durch Integration. Er ist ein grundlegendes Werkzeug in der Wahrscheinlichkeitstheorie.