Dichtefunktion

Die Dichtefunktion gibt an, wie dicht die Werte einer Verteilung um einen beliebigen Punkt herum konzentriert sind. Sie unterscheidet sich je nach Art der Zufallsvariablen: Bei diskreten Zufallsvariablen handelt es sich um die Wahrscheinlichkeitsfunktion, bei stetigen um die Wahrscheinlichkeitsdichte.

Bei diskreten Zufallsvariablen

Bei diskreten Zufallsvariablen entspricht die Dichtefunktion der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Jedem möglichen Ergebnis wird eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Die Funktion weist folgende Eigenschaften auf:

1. Die Wahrscheinlichkeit für ein mögliches Ergebnis ist niemals kleiner als 0.
2. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten beträgt immer 1.

Bei stetigen Zufallsvariablen

Bei stetigen Zufallsvariablen bezeichnet man die Dichtefunktion als Wahrscheinlichkeitsdichte. Sie bildet ein Integral über unendlich viele Werte und berücksichtigt keine einzelnen Punkte. Die Funktion erfüllt diese Bedingungen:

1. $f(x) \geq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$.
2. $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$.
3. $P(X = x) = 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$.