Lineare Funktion

Eine lineare Funktion beschreibt eine mathematische Beziehung, bei der der Funktionswert $( y )$ linear von der unabhängigen Variablen $( x )$ abhängt. Sie wird durch die Gleichung $( f(x) = mx + b )$ dargestellt, wobei $( m )$ die Steigung und $( b )$ der y-Achsenabschnitt ist. Die Steigung bestimmt die Neigung der Geraden, während der y-Achsenabschnitt den Punkt angibt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Ein Beispiel ist die Funktion $( y = 2x - 3 )$, bei der $( m = 2 )$ und $( b = -3 )$ gilt.

Definition und Form

Die allgemeine Form einer linearen Funktion lautet:

$f(x) = mx + b$

Hierbei ist $( m )$ die Steigung und $( b )$ der y-Achsenabschnitt. Im Beispiel $( y = 2x - 3 )$ ergibt sich für $( x = 0 )$ der Wert $( y = -3 )$, was den Schnittpunkt mit der y-Achse markiert.

Parameter

Die Parameter einer linearen Funktion sind die Steigung $( m )$ und der y-Achsenabschnitt $( b )$. Sie bestimmen das Verhalten der Geraden.

Steigung (m)

• Bedeutung: Die Steigung gibt an, um wie viel sich der Wert von $( y )$ verändert, wenn $( x )$ um eine Einheit erhöht wird.
• Interpretation:
  • Eine Steigung von 2 bedeutet, dass $( y )$ um 2 Einheiten steigt, wenn $( x )$ um 1 Einheit steigt.
  • Eine positive Steigung zeigt an, dass die Gerade von links nach rechts ansteigt.

y-Achsenabschnitt (b)

• Bedeutung: Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.
• Interpretation:
  • Bei $( x = 0 )$ ist $( y = b )$.
  • Im Beispiel mit $( b = -3 )$ kreuzt die Gerade die y-Achse bei -3.

Zusammenfassung

Die Steigung $( m )$ legt die Richtung und Steilheit der Geraden fest. Der y-Achsenabschnitt $( b )$ bestimmt den Schnittpunkt mit der y-Achse. Diese Parameter ermöglichen es, lineare Zusammenhänge in verschiedenen Kontexten zu modellieren, etwa in der Datenanalyse oder Physik.