Euklidische Distanz

Die euklidische Distanz ist ein Maß für den Abstand zwischen zwei Punkten in einem n-dimensionalen Raum. Sie ergibt sich aus der Quadratwurzel der Summe der quadrierten Differenzen der entsprechenden Koordinaten. Dieses Distanzmaß findet Anwendung in verschiedenen Bereichen, darunter Algorithmen wie k-nearest-neighbor.

Allgemeine Formel

Für zwei Punkte $P_1(x_1, y_1)$ und $P_2(x_2, y_2)$ im zweidimensionalen Raum lautet die Formel:

$d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

In n-dimensionalen Räumen erweitert sich dies zu:

$d(P_1, P_2) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (p_{2i} - p_{1i})^2}$

Hierbei bezeichnen $p_{1i}$ und $p_{2i}$ die i-ten Koordinaten der Punkte $P_1$ und $P_2$.

Berechnungsschritte

Die euklidische Distanz lässt sich in folgenden Schritten ermitteln:

1. Berechne die Differenz jeder Koordinate der beiden Punkte.
2. Quadriere jede dieser Differenzen.
3. Summiere alle quadrierten Differenzen.
4. Ziehe die Quadratwurzel aus dieser Summe.

Beispiel

Gegeben seien die Punkte $P_1(1, 2)$ und $P_2(4, -2)$.

Der Vektor von $P_1$ zu $P_2$ ergibt sich als:

$\vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$

Die Distanz beträgt:

$d(P_1, P_2) = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5$